4.1.6 Equilibreur zigzag

Nous le supposerons constitué de trois transformateurs monophasés de rapport $1$, ce qui nous permettra d’utiliser un modèle classique de transformateur monophasé non-idéal présenté dans le Chapitre 2 ; et identiques, ce qui rendra l’objet invariant par permutation circulaire des ports et nous permettra donc d’appliquer la théorie des composantes symétriques.

Mise en équations en coordonnées usuelles

Les équations en coordonnées usuelles sont les suivantes~:
\begin{equation}
\begin{cases}
I_A^M = I_A – I_B\\
I_B^M = I_B – I_C\\
I_C^M = I_C – I_A\\
V_N + z I_B + Z (I_B^M – I_A^M) = V_B\\
V_N + z I_C + Z (I_C^M – I_B^M) = V_C\\
V_N + z I_A + Z (I_A^M – I_C^M) = V_A\\
I_A + I_B + I_C + I_N = 0
\end{cases}
\end{equation}
soit, par blocs et en faisant apparaître la matrice $S$ que nous avons définie à l’équation 1.3,
\begin{equation}
\begin{cases}
I_{ABC}^M = (I_3 – S) \, I_{ABC} \\
V_N \, \un + z S I_{ABC} + Z \, (S – I_3) \, I_{ABC}^M = S \, V_{ABC} \\
\un^\top I_{ABC} + I_N = 0.
\end{cases}
\end{equation}

Ce composant possède 11 variables~: 8 variables associées à ses 4 ports, et les trois courants magnétisants $I_A^M$, $I_B^M$ et $I_C^M$ qui constituent trois variables internes. Parmi ces 11 variables, on compte 3 triplets triphasés $V_{ABC}$, $I_{ABC}$ et $I^M_{ABC}$, et deux variables isolées $V_N$ et $I_N$.

Le problème compte par ailleurs 2 blocs triphasés d’équations et une équation isolée, soit 7 équations indépendantes au total et donc 4 degrés de liberté comme on s’y attend pour un composant à 4 ports.

Dans le premier bloc triphasé d’équations, la sous-matrice associée au triplet $V_{ABC}$ est nulle, celle associée $I^M_{ABC}$ est égale à $I_3$, tandis que celle associée à $I_{ABC}$ est égale à $S-I_3$. Dans le deuxième bloc triphasé d’équations, les sous-matrices associées aux triplets $V_{ABC}$, $I_{ABC}$ et $I^M_{ABC}$ sont respectivement égales à $-S$, $zS$ et $Z (S-I_3)$. Toutes ces sous-matrices sont circulantes. De plus, dans le premier bloc triphasé d’équations, aucune variable isolée n’intervient, tandis que dans le second, seule $V_N$ intervient et la colonne associée est égale à $\un$. Enfin, dans l’unique équation isolée, le seul triplet de variables triphasées qui intervient est $I_{ABC}$ et la ligne associée est égale à $\un^\top$. La matrice possède donc la structure circulante.

Dans le premier bloc triphasé d’équations, toutes les matrices sont réelles ; au vu de la Remarque 3, on s’attend à ce que les équations directe et inverse qui apparaîtront après la diagonalisation soient conjuguées l’une de l’autre.

Dans le second bloc triphasé d’équations, la première sous-matrice $3 \times 3$ est réelle et les deux autres sont des multiples d’une matrice réelle, avec un facteur $z$ et $Z$ respectivement. A ce facteur près, on s’attend donc à ce que les équations directe et inverse qui apparaîtront après la diagonalisation soient également conjuguées l’une de l’autre.

On observe ici, pour la première fois dans ce document, une situation où l’on n’a pas l’égalité $\beta = \gamma$ de la Remarque 4 : intuitivement, le couplage entre les phases A et B n’est pas le même que le couplage entre A et C, par exemple. Dans cette situation, à première vue, rien ne semble donc garantir que les systèmes direct et inverse seront identiques, alors que c’est ce à quoi l’on s’attend pour un circuit immobile… Nous reviendrons sur ce point à la Remarque 40.